جبر و مقابله ، با تحولاتی که به ویژه از قرن نوزدهم میلادی تاکنون رخ داده ، واژة جبر امروز بر یکی از علوم ریاضی اطلاق می شود که موضوع آن بررسی ساختارهای جبری (گروه ، حلقه ، هیئت ،...) است ، اما در این مقاله ما آن را به معنایی محدودتر، و تاریخی تر، به کار خواهیم برد. در این معنی ، جبر علمی است که موضوع آن حل معادلات و نیز عملیات بر روی چند جمله ایهاست . این علم در دوران اسلامی «جبر» یا «جبر و مقابله » نامیده می شده است .

معنای واژه های جبر و مقابله . واژة «الجبر» (در فارسی : «جبر») نخستین بار در عنوان کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة تألیف محمدبن موسی خوارزمی * به کار رفته و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب (ادامة مقاله ) با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algةbre در فرانسه ) به زبانهای دیگر راه یافته است . این واژه از ریشة جَبَرَ در عربی گرفته شده که به معنای شکسته بندی و جُبران است ، اما خوارزمی آن را بر عملِ افزودن جمله های مساوی بر دو سوی یک معادله ، برای حذف جمله های منفی ، اطلاق می کند. واژة «مقابله »، که آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می شود،

به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است

( رجوع کنید بهمحمدبن موسی خوارزمی ، ص 40). نویسندگان آثار دایرة المعارفی ، از جمله محمدبن احمد خوارزمی (متوفی 387؛ ص 200) و فخررازی (زندگی ، 543 ـ 6061؛ ص 393) و ابن اکفانی (ص 84) و طاشکوپری زاده (ج 1، ص 369) و حاجی خلیفه (ج 1، ستون 579) و غالب جبردانان پس از خوارزمی ، از جمله ابوبکر محمد کَرَجی * (قرن چهارم )، واژة جبر را به همین معنی به کار برده اند (نیز رجوع کنید بهبلوستا ، ص 74). ابوکامل شجاع بن اسلم * (نیمة دوم قرن سوم ) نیز مشتقات واژة جبر را به همین معنی به کار می برد. مثلاً برای حل معادلة 80 = x 20ـ100 می گوید: «صد درهم را با بیست شی ء جبر کن و آن را با هشتاد جمع کن (فَاجْبُرِ المِائةَ درهم بِالعشرین شی ء وَزِدْهابالثمانینَ)» تا به صورت 100=80+ x 20 درآید ( رجوع کنید به ابوکامل ، 1406 الف ، ص 49ـ50؛ همو، 1406 ب ، ص 69). ابوریحان بیرونی ( التفهیم ، متن عربی ، ص 37، متن فارسی ، ص 48ـ49). عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفة ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می کند و در این تمثیل ، بی آنکه به آن تصریح کند، به اصول a + c = b + c Âa = b و a - c = b - c Âa = b از اصول متعارف کتاب اصول اقلیدس (ج 1، ص 155) استناد می جوید. خواجه نصیرالدین طوسی (597 ـ672؛ 1335 ش ، ص 19ـ20) و غیاث الدین جمشید کاشانی (متوفی 832؛ ص 189) و ابن غازی مکناسی (متوفی 919؛ ص 228) نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده اند. با این حال ابن بنّای مراکشی (654ـ 721)، هرچند در کتاب خود بخشی را به جبر و مقابله به معنای متعارف آن اختصاص داده ، در جای دیگری واژة «جبر» را به «اصلاح » معنی می کند و آن را به معنی تقسیم مقدار ثابت به ضریب مجهول در معادلة ax = b می داند (ص 56؛ نیز رجوع کنید بهقَلَصادی ، ص 151ـ152). اما قلصادی (ص 247)، جبر را به همان معنای اصطلاحی به کار برده است . کاربرد ابن بنّا نیز هرچند با معنی متعارف جبر متفاوت است ، به نحوی با ریشة لغوی این کلمه ارتباط دارد. به این دلایل ، نظر صلیبا (1983) که این واژه را مشتق از ریشة جَبَرَ به معنای مجبور کردن و ناگزیر کردن می داند و غرض خوارزمی را از آن «بیرون کشیدن » ریشة یک معادله می شمارد پذیرفتنی نمی نماید.

جایگاه جبر در میان علوم . در طبقه بندیهای یونانیان از علوم ، نام علم جبر جزء علوم ریاضی نیامده است . نخستین کسی که جبر را در طبقه بندی علوم داخل کرده فارابی است که در احصاءالعلوم خود بخشی را به «علم الحیل » یا «علوم الحیل » اختصاص داده است . این علوم ، که فارابی در تعریف آنها می گوید: «علمِ شیوة چاره جویی است برای کاربرد آنچه وجودشان در ریاضیات با برهان ثابت شده در اجسام طبیعی و ایجاد و وضع آنها بالفعل » (ص 88)، جز «علم حیل » به معنای متعارف آن و نیز «علم آینه های سوزان »، که جزء «حیل هندسی » هستند، دستة دیگری از علوم را نیز دربرمی گیرد که فارابی آنها را «حیل عددی » می نامدو شامل «علمی است در میان مردم زمان ما به جبر و مقابله معروف است » (ص 89). از اینکه فارابی جبر را جزء علوم حیل آورده ، معلوم می شود که از نظر او هنوز جبر نه علمی برهانی بلکه مجموعه ای از شگردها برای استخراج



ریشه های معادلات شمرده می شده است . این دیدگاه به نحوی در طبقه بندی ابن سینا از علوم هم منعکس شده است . وی در رسالة فی اقسام العلوم العقلیة (ص 122) جبر را جزء «اجزاء فرعی (الاقسام الفرعیة ) ریاضیات » آورده و آن را، در کنار «عمل جمع و تفریق بر حَسَب حساب هندی » یکی از «شاخه های علم اعداد (من فروع علم العدد)» شمرده است . در تقسیم بندی ابن سینا، علم «حیل هندسی »، در کنار «علم اثقال ، صناعت اوزان و موازین ، مناظر و مرایا و آینه ها» جزء فروع علم هندسه شمرده شده است . همین طبقه بندی در رساله ای از خواجه نصیر طوسی نیز بعینه تکرار شده است ( رجوع کنید بهنصیرالدین طوسی ، 1359 ش ، ص 527). بدین ترتیب ، در تقسیم بندی ابن سینا آنچه فارابی «علوم حیل » نام داده ، با تفصیل بیشتر، «اقسام فرعی علوم ریاضی » نام گرفته است . با این حال ، ابن سینا برخی از این رشته ها را «علم » (علم المساحة ، علم الحیل المتحرکة ، علم نقل المیاه ) و برخی دیگر، از جمله جبر، را «عمل » می نامد. ظاهراً خصوصیت مشترک دستة اخیر عملی بودن آنهاست . ابن سینا در تقسیم بندیهای دیگری که از علوم کرده است این علوم فرعی را ذکر نمی کند ( رجوع کنید به منطق المشرقیین ، ص 5 ـ 6، که تصریح می کند که تنها علوم اصلی را ذکر کرده است ).

در تعریف کرجی (قرن چهارم هجری رجوع کنید به ادامة مقاله )، جبر و مقابله یکی از روشهای «حساب » است ، اما تعریف کرجی از حساب بسیار کلی تر از مفهوم حساب به عنوان مجموعه ای از روشها و «عبارت است از به دست آوردن مجهولات از معلومات » (کرجی ، 1964، ص 7؛ همو، 1406، ص 97)، این تعریف خود در واقع از مفهوم جدید جبر متأثر است . تعریفی که کرجی از روشهای حساب به دست می دهد هم حل معادلات سیّال و معیّن را شامل می شود و هم حساب چند جمله ایها را.

خیام در رسالة جبر و مقابلة خود (ص 7، ترجمة فارسی ، ص 159؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 117)، «صناعت جبر و مقابله » را یکی از «مفاهیم ریاضی » می شمارد «که در بخشی از فلسفه که به ریاضی معروف است ، بدان نیاز می افتد». هرچند خیام در این عبارت در صدد به دست دادن تعریفی جامع و مانع از جبر نیست ، اما از نوشتة او چنین استفاده می شود که جبر اولاً «صناعت » است و ثانیاً جزء علوم ریاضی است . نتیجة کلی سخن خیام این است که جبر در طبقه بندی کلی علوم فلسفی قرار می گیرد، هرچند او جایگاه آن را در میان این علوم مشخص نمی کند. وی همچنین در تعریف جبر می نویسد که «فن جبر و مقابله فنی علمی است که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهول اند ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیلة آن می توان آنها را استخراج کرد» (ص 8 ـ9، ترجمة فارسی ، ص 161؛ نیز رجوع کنید به راشد و وهاب زاده ، ص 120ـ 121). بنابراین ، در نظر خیام ، مقادیر عددی و مقادیر هندسی هر دو می توانند ریشة معادلات جبری باشند. خیام در رسالة دیگر خود به نام فی قسمة ربع الدائرة (این رساله ، با عنوان رسالة لابی الفتح عمربن ابراهیم الخیامی به چاپ رسیده است ) نیز تلویحاً با این فکر که جبر مجموعه ای از شگردها («حیله »، توجه کنید که در تقسیم بندی فارابی جبر جزء «علوم الحیل » قرار می گیرد) باشد مخالفت می کند. خیام می نویسد: «و آنکه گمان برده است که جبر حیله ای ] شگردی [ برای استخراج اعداد مجهول است ، امر نامعقولی را گمان برده است . ... جبر و مقابله اموری هندسی است که به وسیلة اَشکال پنجم و ششم مقالة دوم ] اصول اقلیدس [ مبرهن می شود» (ص 65ـ66، ترجمة فارسی ، ص 264؛ نیز رجوع کنید بهراشد و وهاب زاده ، ص 251). به این ترتیب ، جبر و مقابله ، از نظر خیام ، علمی هندسی است و چون هندسی است بُرهانی نیز هست . این اختلاف در جایگاه جبر به دلیل تازگی این علم و دو تصوری است که از آغاز این علم به موازات هم وجود داشته است .

در طبقه بندیهای متأخر (مثلاً حاجی خلیفه ، ج 1، ستون 578) علم جبر و مقابله «از فروع علم حساب » شمرده شده است . اما باید توجه داشت که این طبقه بندیها به دورانی تعلق دارند که دستاوردهای بزرگ علم جبر دوران اسلامی فراموش شده و از آن تقریباً چیزی جز حل شش دسته معادلة خوارزمی باقی نمانده بود.

پیشینة علم جبر. مسائلی که یافتن مقدار مجهول در آنها به حل معادلات جبری درجة اول و دوم ، و گاه به حل دستگاهی از معادلات ، منجر می شود، از گذشتة بسیار دور در تمدنهای گوناگون شناخته بوده است و برخی از مورخان مانند بارتل وان در واردن ریشة این مسائل را به دورانهای پیش از تاریخ می رسانند ( رجوع کنید بهواردن ، 1983). مصریان باستان با دستور (الگوریتم ) حل معادلات درجة اول آشنا بودند و بابلیها، از حدود 1700 پیش از میلاد، نه تنها راه حل معادلات درجة اول ودوم را می شناختند (نویگه باور ، ص 40ـ42)، بلکه برخی از معادلات از درجات بالاتر، و حتی حالات خاصی از معادلات درجة هشتم ، را حل می کردند (همان ، ص 48). با این حال ، آنچه از این تمدنها به دست ما رسیده ، فقط مجموعه هایی از مسائل عددی است . راه حلها، هرچند در مورد معادلات درجة اول و دوم کلیت دارند، از طریق مسائل عددی خاص بیان می شوند و معلوم نیست به چه طریق به دست آمده اند و در مسائلی که درجة آنها از دو بیشتر است ،





دستورهای حل معادلات تنها در موارد خاص کاربرد دارند.

از عصر زرین ریاضیات یونانی (قرنهای پنجم و چهارم و سوم پیش از میلاد)، هیچ اثری در زمینة جبر به دست ما نرسیده است . به نظر می آید که علاقة یونانیان به برهان دقیق ، و نیز کشف کمیات ناهمسنجه ، توجه ریاضیدانان یونانی را یکسره به هندسه معطوف کرده بوده است . در فلسفة یونانی ، به صورتی که در آثار ارسطو آمده ، و تأثیر آن در آثار ریاضیدانان یونانی چون اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس دیده میشود، کمیتها به دو دستة کاملاً متمایز تقسیم می شوند: اعداد، که منظور از آن اعداد طبیعی است (یعنی مضربهای واحد؛ خودِ واحد تجزیه ناپذیر محسوب می شود) و مقادیر، که کمیّات هندسی (طول و سطح و حجم )اند. مفهوم کلی «عدد حقیقی » (شامل اعداد گویا و گُنگ ) بی معنی است ، اعداد گویا (کسرها) به صورت «نسبت »هایی میان اعداد طبیعی تعریف می شوند و موجوداتی که امروزه عدد گنگ می نامیم با پاره خط ، و نسبت میان آنها با نسبت میان پاره خطها، نمایش داده می شوند. با این حال ، وجود برخی روشها در کتاب مخروطات آپولونیوس (قرن سوم پیش از میلاد) و برخی از قضایا در مقالات دوم و ششم و دهم کتاب اصول اقلیدس (تألیف شده در حدود 300 پیش از میلاد) گروهی از مورخان را معتقد کرده است که یونانیان از نوعی جبر هندسی استفاده می کرده اند. اصطلاح «جبر هندسی » را نخستین بار ریاضیدان دانمارکی زویتن در کتاب خود به نام > نظریة مقاطع مخروطی در دوران باستان < ابداع کرده است . زویتن دریافت که در کتاب مخروطات آپولونیوس ، خواص اصلی مقاطع مخروطی از راه عملیاتی بر روی پاره خطها از یک سو، و سطوح از سوی دیگر، بیان شده است که همان خواص جمعی و ضربی را دارند که امروزه در کتابهای جبر آموخته می شود (واردن ، ص 75). مفهوم جبر هندسی را با مثالهایی از کتاب اصول اقلیدس بهتر می توان توضیح داد. مثلاً قضیة اول از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 375) به این صورت است :

هرگاه دو خط مستقیم داشته باشیم و یکی از آنها را به تعداد دلخواهی پاره خط تقسیم کنیم ، مستطیلی که از دو خط مستقیم تشکیل شود، برابر با مجموع مستطیلهایی است که از پاره خط دیگر و هریک از قطعات تشکیل می شود.

اگر قطعات پاره خط اصلی را به b و c و... و پاره خط دیگر را به a نمایش دهیم ، این قضیه خاصیت پخش پذیری جمع نسبت به ضرب را بیان می کند (شکل 1):

a (b + c +...) = ab + ac + ...





همچنین قضیة چهارم از مقالة دوم اصول (ج 1، ص 379) می گوید که اگر پاره خطی را به دو بخش تقسیم کنیم ، مربعی

که بر روی کل پاره خط ساخته می شود مساوی است با

مجموع مربعهایی که بر روی هریک از دو بخش ساخته می شوند و دو مستطیلی که از دو بخش به دست می آید. هرگاه طول دو پاره خط را با نمادهای a و b نمایش دهیم ، این قضیه با اتحاد جبری ab 2 + 2 + b 2 = a 2 (a + b) معادل است (شکل 2).











مهم تر از این دو، از لحاظ تاریخ علم جبر، قضیة پنجم از مقالة دوم کتاب اصول (ج 1، ص 382) است : هرگاه پاره خط AB را در نقطة C به دو قسمت مساوی AC و CB و در نقطة D به دو قسمت نامساوی AD و DB تقسیم کنیم ، مستطیلی که یک ضلع آن AD و ضلع دیگری آن DB باشد به اضافة مربعی که هر ضلع آن CD باشد مساوی است با مربعی که روی CB (نصف پاره خط اصلی ) ساخته شود.

این قضیه بدین معنی است که در شکل 3، مستطیل AEDG به اضافة مربع FGIJ مساوی است با مربع CBIK . چنانکه در این شکل فرض کنیم که AB = a و DB = x ، آنگاه این قضیه به معادلة 2 = b 2 ax - x منجر می شود (همان ، ج 1، ص 383). اما چنین تعبیری مستلزم این اعتقاد است که هر طولی را می توان با









عددی نمایش داد، درحالی که در سنّت یونانی هرچند هر عددی را با طولی نمایش می دادند، معتقد نبودند که در برابر هر طولی هم عددی وجود داشته باشد. همچنین است ترسیماتی که در قضایای بیست و هشتم و بیست و نهم از مقالة ششم کتاب اصول (ج 2، ص 261ـ267) خواسته شده و معادل با حل یک معادلة درجة دوم است .

به همین دلیل ، چه در اصول اقلیدس و چه در مخروطات آپولونیوس ، مساحت مستطیل هیچ گاه به صورت حاصل ضرب اضلاع آن نشان داده نمی شود، بلکه مساحت هر شکل با مساحتی دیگرسنجیده می شود.ازاین رو، هرچند آپولونیوس ،در مخروطات ، خواص مقاطع مخروطی را از طریق مفهومی به نام نشانه بررسی می کند که به مفهوم امروزیِ معادلة مقطع مخروطی بسیار نزدیک است ، بااین حال ، وی همواره نشانه را به صورت برابری دو سطح بیان می کند. بنابراین ، تعبیر جبری قضایای فوق توجیهی ندارد. همچنین ، هرچند برخی از ترسیمات هندسی مقالة ششم کتاب اصول نیز، هرگاه به زبان نمادهای جبری ترجمه شوند، به حل معادلاتی از مرتبة اول و دوم منجر می شوند، اما تعبیر جبری این قضایا نیز با همان مشکل پیشین مواجه است . همچنین است مقالة دهم اصول ، که بسیاری از قضایای پیچیدة آن ، به زبان جبری ، معادل با گویا کردن اعداد گنگ است . با این حال ، مسئلة جبر هندسی یونانی ، و به ویژه تعبیر مقالات «جبری » کتاب اصول اقلیدس ، در بین مورخان ریاضیات همچنان مورد بحث است .

در این میان یک استثنای مهم وجود دارد و آن کتاب الحساب دیوفانتوس اسکندرانی است . موضوع این کتاب که تاریخ دقیق تألیفش معلوم نیست اما احتمالاً در قرن سوم میلادی تألیف شده (هیث ، ج 2، ص 448)، «لوژیستیک یا شاخة محاسباتی حساب است که در حل مسائل عملی از آن استفاده می شود» ( زندگینامة علمی دانشوران ، ج 4، ص 111). در ریاضیات یونانی ، «لوژیستیک » مجموعه ای از فنون محاسبه بود و معمولاً در مقابل «فن حساب » قرار می گرفت که دانشی برهانی محسوب می شد. کتاب الحساب در اصل در هفت مقاله بوده که اصل یونانی مقالات اول تا سوم و ترجمة عربی چهار مقالة دیگر آن در دست است ( رجوع کنید به دیوفانتوس اسکندرانی ، صناعة الجبر ، مقدمة راشد، ص 8 ـ13)، و مجموعه ای است از مسائل معیّن (معادلات یک مجهولی یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها به تعداد معادلات است ) و نامعیّن (سیال ، معادله یا دستگاههایی از معادلات که شمار مجهولات آنها بیش از تعداد معادلات است ). دیوفانتوس در تنظیم این معادلات ترتیب خاصی را رعایت نکرده است . در مورد هر معادله یا هر دستگاه از معادلات ، دیوفانتوس راه حل را عرضه می کند و در مورد معادلات سیال جوابهای گویا را به دست می آورد و در این کار غالباً به تغییر متغیرهای هوشمندانه و روشهای بدیع برای کاستن از درجة معادلات متوسل می شود ( زندگینامة علمی دانشوران ، همانجا). گذشته از این ، دیوفانتوس نامهایی برای توانهای مختلف اعداد ابداع کرده است و نیز نخستین نشانه های مختصر نویسی در جبر (انتخاب برخی از حروف الفبای یونانی برای نمایش توانهای مجهول ) در کار او دیده می شود. همچنین ، دیوفانتوس دو عمل را تعریف می کند که برای ساده کردن معادلات انجام می گیرد (واردن ، ص 98). یکی ازاین دو عمل بعدها در کتاب خوارزمی «جبر» و دیگری «مقابله » نام می گیرد ( د. اسلام ، چاپ دوم ، ذیل «الجبر و المقابله »).

خوارزمی و پیدایش علم جبر. نخستین اثر مستقل در جبر کتابی است از محمدبن موسی خوارزمی که به کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة معروف است (هرچند کلمة «المختصر» در عنوان آن دیده نمی شود) و در زمان خلافت مأمون (بین سالهای 198 و 218) تألیف شده است (خوارزمی ، ص 15). با اینکه خوارزمی (ص 16) تصریح می کند که هدف او نوشتن

کتابی است که در مسائل عملی مربوط به تقسیم میراث و مسّاحی و تجارت به کار آید، و بخشهایی از کتاب نیز به

این گونه مسائل اختصاص دارد، اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است . زیرا در این کتاب است که علم جبر، به صورت یک علم مستقل با واژگان و مفاهیم و روشهای خاصی که آن را از حساب و هندسه متمایز می کنند، متولد می شود. این امر از روشی که خوارزمی در معرفی موجودات جبری به کار می برد پیداست .

وی (همانجا) نخست عدد را، به سنّت یونانی ، به صورت ترکیبی از واحدها تعریف می کند، سپس سلسله های زیر را می سازد:



1، 2، 3،...، 9، 10

1+10 ،2+10 ، 3+10، ...، 9+10 ،10*2

1+10*2، 2+10*2،...، 9+10*2، 3*10



.

.

.



10*10 = 2 10

.

.

.

.



2* 2 10

.

.

.

10* 2 10 = 3 10

آنگاه خوارزمی ، از روی قیاس با این سلسله های عددی ، موجوداتی را که در علم جبر به کار می رود تعریف می کند. این موجودات عبارت اند از شی ء (مقدار مجهول یا x ) که به قیاس با ضریب بخش دهگانی (ضریب 10) در یک عدد دو رقمی ساخته می شود، مال (توان دوم مقدار مجهول یا 2 x ) که به قیاس بخش صدگانی (ضریب 2 10) در یک عدد صدگانی ساخته می شود، و عدد یا درهم (مقدار معلوم )، که متناظر است با ارقام 1 تا 9 در سلسلة اعداد دهگانی . به این ترتیب ، موجودات جبری شکل تعمیم یافته ای از اعداد حسابی به نظر می آیند. یعنی عدد مطلق (مفرد) متناظر است با یکی از اعداد 1 تا 9 در دستگاه دهگانی ، تک جمله ای مرتبة اول ax ( a و x اعداد گویای مثبت اند) متناظر است با عدد m 10، که در آن m یکی از ارقام 1 تا 9 است و تک جمله ای مرتبة دوم 2 ax متناظر است با عدد m 2 10. سپس خوارزمی (ص 17ـ 18) به تقسیم بندی معادلاتی می پردازد که از ترکیبهای مختلف این موجودات با یکدیگر حاصل می شود. به این طریق شش دسته معادله ، از درجات اول و دوم ، به دست می آید:

1) شی ءهایی مساوی با عددی است : ax = b ،

2) مالی مساوی با عددی است : = a 2 x ،

3) مالی مساوی با شی ءهایی است : = ax 2 x ،

4) مالی به اضافة شی ءهایی مساوی با عددی است :

+ ax = b 2 x ،

5) مالی به اضافة عددی مساوی شی ءهایی است :

+ a = bx 2 x ،

6) مالی مساوی با شی ءهایی به اضافة عددی است :

= bx + a 2 x ،

ضریبهای a و b همواره اکیداً مثبت (مثبت و مخالف صفر)اند. در نمونه هایی که خوارزمی ذکر می کند، همة ضرایب اعداد صحیح اند اما، چنانکه خواهیم دید، جانشینان او معادلاتی با ضرایب کسری و حتی گنگ را هم در نظر می گیرند.

خوارزمی (ص 18) معادلات (4) تا (6) را مقترنات نام داده است و جبردانان پس از او معادلات (1) تا (3) را مفردات نامیده اند. این شش معادله ، در واقع تمامی حالات معادلات درجة اول و دوم را، به شرط مثبت بودن ضرایب ، نشان می دهند. چنانچه معادله ای به صورتی جز یکی از این شش صورت داده شده باشد، آن را با یکی از دو عمل «جبر» یا «مقابله »، یا با هر دو عمل ، به یکی از این شش صورت نرمال تبدیل می کنیم . مثلاً معادلة 6 = 4 + x 7 ـ 2 x از راه «جبر» (افزودن مقدار x 7 به دو سوی معادله ) به صورت 6 + x 7 = 4 + 2 x و از راه مقابله (حذف مقدار 4 از دو سوی معادله ) به صورت

2 + x 7 = 2 x درمی آید که نمونه ای است از معادلة (6). همچنین هرگاه ضریب 2 x عددی مخالف یک باشد، با تقسیم طرفین معادله به این عدد، معادله به صورت نرمال درمی آید.

از این معادلات ، یکی (شمارة 1) از درجة اول و یکی دیگر (شمارة 3) قابل تبدیل به معادلة درجة اول است . راه حل این دو معادله بدیهی است (خوارزمی البته ریشة صفر را در مورد معادلة شمارة 3 به حساب نمی آورد) و حل معادلة شمارة 2 به استخراج جذر یک عدد منجر می شود. در مورد سه معادلة دیگر، خوارزمی دستور (الگوریتم ) کلی حل معادله را به دست می دهد، منتهی در مورد هر معادله راه استفاده از این الگوریتم را با استفاده از یک مثال عددی که آن را «الگو» («باب ») می نامد نشان می دهد. به عنوان مثال ، دستور حل معادلة (4) به صورت زیر است : تعداد شی ءها (ضریب x یا a ) را نصف می کنیم ، حاصل را در خودش ضرب می کنیم ، مقدار به دست آمده را با تعداد درهمها (b) جمع می کنیم ، از مقداری که به این طریق به دست می آید جذر می گیریم ، و از حاصل ، نصف تعداد شی ءها را کم می کنیم . عدد به دست آمده مقدار مجهول است ( رجوع کنید به همان ، ص 19). به عبارت

دیگر، a 2 1 - 2 a 4 1 b + ¡ x = راه حل خوارزمی ، در واقع عبارت است از تبدیل کردن عبارت دست چپ معادله به یک مربع کامل از راه افزودن مقدار 2 a 4 1 به دو طرف معادله . به عبارت دیگر، الگوریتم خوارزمی را به این صورت می توان نشان داد:



+ ax = b 2 x

ذ

2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 + ax + ( 2 x

ذ

2 a 4 1 = b + 2 a) 2 1 (x +

ذ

2 a 4 1 b + ¡ a = 2 1 x +

ذ

a 2 1 - 2 a 4 1 b+ ¡ x =

این معادله همواره یک جواب مثبت دارد. پیداست که خوارزمی در این الگوریتم تلویحاً از اتحاد pq 2 + 2 + q 2 = p 2 (p + q) استفاده کرده است . در مورد معادلات (5) و (6) روش خوارزمی اساساً یکسان است ، جز اینکه در مورد معادلة + a = bx 2 x قید می کند که معادله ممکن است دو جواب مثبت داشته باشد یا جواب نداشته باشد (ص 21).

جبر دو جمله ایها. بخش دیگری از کتاب خوارزمی (ص 27ـ 34) که تنها در چند دهة اخیر مورد توجه قرار گرفته و با این حال از لحاظ تحول علم جبر بسیار حائزاهمیت است ، بخشی است که به بیان سه عمل اصلی (جمع ، تفریق و ضرب ) بر روی دوجمله ایها اختصاص دارد. خوارزمی ابتدا به بیان قواعدی در مورد جمع و تفریق یک جمله ایها می پردازد که معادل است با دستورهای

ax + bx = (a+b)x

و

) ax - bx = (a - b)x به شرط (a> b

برای بیان قواعد ضرب دو جمله ایها، وی نخست (ص 27ـ 28) قاعدة ضرب دو عدد دو رقمی در مبنای 10 را به صورت زیر شرح می دهد :

c+ d)= 10 a + b). ) 10 = ( 10 cd . 10 ab

+ bd 10 + bc. 10 + ac. 2 10 ac.

سپس (ص 28ـ30) قاعدة ضرب دو دو جمله ای را بیان می کند:

+ ad . x + bc . x + bd 2 (ax + b) . (cx + d) = ac . x



+ bc . x - ad . x - bd 2 (ax + b) . (cx - d) = ac . x



- ad . x - bc . x + bd 2 (ax - b) . (cx - d) = ac . x



از شیوة بیان خوارزمی پیداست که وی یک دو جمله ای را به صورت یک عدد دورقمی در مبنای x در نظر می گیرد، و آنگاه قواعد ضرب دو عدد دو رقمی در مبنای 10 را در بارة این عدد دو رقمی در مبنای x به کار می برد:



x . cd x (ax + b). (cx + d) = ab

همچنین در این روابط ، خوارزمی ، به طور ضمنی ، قواعدِ

(+b) = + (ab) * (+a)



(-b) = - (ab) * (+a)



(+b) = - (ab) * (-a)



(-b) = + (ab) * (-a)



را، که در آن 0 a,b> ، به دست می دهد. با این حال ، مفهوم عدد منفی در کتاب خوارزمی وجود ندارد.

بدین ترتیب ، برخلاف ریاضیات بابلی و «جبرِ هندسی » یونانی ، که برای حل چند حالت خاص به «انواع اندیشه های بدیع » متوسل می شدند، در کتاب جبر و مقابلة خوارزمی ، همة انواع معادلات به «چند نوع استاندارد تحویل می شود که به کمک چند قاعده قابل حل اند» ( رجوع کنید به گاندز ، ص 542). پیش از خوارزمی ، استخراج مجهول از راه عملیات حسابی بر روی داده های عددیِ مسئله انجام می گرفت ، اما خوارزمی ، با معرفی دو جمله ایهای جبری و عملیات بر روی آنها، در واقع موجودات جدیدی را معرفی می کند که عدد نیستند ولی از روی الگوی اعداد ساخته می شوند. البته خوارزمی این موجودات را تعریف دقیق نمی کند. «بدین طریق ، جبر در آغاز، به صورت نوعی حساب ظاهر می شود که از «لوژیستیک » کلی تر است ــ زیرا به کمک جبر می توان مسائل «لوژیستیک » را دقیق تر حل کرد ــ و نیز از «هندسة متریک هم کلی تر است » (راشد، 1997، ص 34). این کار خوارزمی سرآغاز جریانی است که رشدی راشد (1984، ص 30) آن را «حسابی کردن جبر» می نامد. بدین معنی که این علم به صورت نوعی حسابِ تعمیم یافته و کلی ظاهر می شود که قواعد خود را از روی قواعد حساب می سازد. این کار بعدها در مکتب کَرَجی به اوج خود می رسد. از سوی دیگر، از همان کتاب خوارزمی ، کوششی برای آنکه این قواعد به کمک ترسیمات هندسی بُرهانی شوند، دیده می شود.

توجیه هندسی الگوریتمها. بخشی از کتاب خوارزمی (ص 21ـ 27) به توجیه هندسی دستورهای حل معادلات (4) تا (6) اختصاص دارد. این کار، هرچند آن را نمی توان اثبات به معنای متعارف نامید، به هرحال کوششی است برای آنکه الگوریتم از راه رسم یک شکل هندسی تأییدشود. خوارزمی این شکلهارا «علتی » می نامدکه «دلیل نصف کردنِ ضریب مجهول را بیان می کند». شکل 4 استدلال خوارزمی رادرموردمعادلة شمارة 4 نشان می دهد(ص 22):













در این شکل ، هر ضلع مربع ABCD مساوی است با مقدار مجهول x و مساحت این مربع مساوی است با 2 x . ضلعهای هریک از مستطیلهای ABEF و BCGH و CDIJ و DAKL برابرند با x و 4 a . بنابراین ، مجموع مربع میانی و چهار مستطیل برابر است با + ax 2 x ، که طبق فرض مسئله برابر است با b . اگر به این مجموع چهار مربع گوشه ای را اضافه کنیم ، مربع بزرگِ حاصل از یک سو برابر است با 4 2 + ax + a 2 x یا 2 ) 2 (x +a و از سوی دیگر برابر است با 2 a 4 1 b + . بنابراین



2 a 4 1 = b + 2 ) 2 (x + a



2 a 4 1 b + ¡ = 2 x + a



2 - a 2 a 4 1 b+ ¡ x =



جبر از خوارزمی تا کرجی . اهمیت کتاب جبر و مقابلة خوارزمی ، به رغم حجم کم وسادگی ظاهری مطالب آن ، در همان قرن سوم شناخته شد. نشانة این توجه رساله هایی است که در قرنهای سوم و چهارم در این موضوع نوشته شده است که هرچند بسیاری از آنها از میان رفته ، اما بعضی از آنها که به دست ما رسیده بر تأثیر خوارزمی و کتاب او گواهی می دهند. برخی از این آثار از دست رفته عنوان «الجبر و المقابلة » دارند، مانند کتاب الجبر و المقابلة ابوحنیفه دینوری (متوفی 290؛ ابن ندیم ، ص 86؛ حاجی خلیفه ، ج 2، ستون 1407) و نیز کتاب احمدبن محمدبن طیّب سرخسی (متوفی 286؛ رجوع کنید به حاجی خلیفه ، همانجا) و برخی دیگر شرح بر جبر و مقابلة خوارزمی اند، مانند شرح الجبر و المقابلة للخوارزمی از سنان بن فتحِ حرانی * (ابن ندیم ، ص 339ـ340). در واقع از سنان بن فتح رساله ای در جبر، به نام کتابٌ فیه الکعبُ و المالُ و الاعدادُ المتناسبة ، باقی مانده (راشد، 1997، ص 31، پانویس 4)، اما معلوم نیست که این رساله همان شرح کتاب خوارزمی باشد. در این رساله معادلاتی که شامل جمله های p 2 n+ ax و n+p bx و n cx هستند به معادلات درجة دوم تبدیل شده اند (انبوبا، ص 78ـ79) و نیز شرح کتاب محمدبن موسی الخوارزمی فی الجبر از عبداللّه بن حسین صیدنانی (ابن ندیم ، ص 338)، و تفسیر کتاب الخوارزمی فی الجبر و المقابلة از ابوالوفای بوزجانی * (همان ، ص 341). غالب این آثار در همان قرن سوم و اثر اخیر پیش از سال 377 که سال تألیف نهایی الفهرست ابن ندیم است نوشته شده اند.

در الفهرست ابن ندیم (ص 334) کتابی به نام کتاب الجبر و المقابلة به سَنَد (یاسِنْد)بن علی ، ریاضیدان معاصر خوارزمی ، نسبت داده شده است ، اما چون ابن ندیم به سندبن علی * کتابی هم به نام کتاب الحساب الهندی نسبت می دهد (همانجا)، این احتمال هست که زندگینامة او با زندگینامة خوارزمی ، که در الفهرست درست پیش از سندبن علی آمده ( رجوع کنید به ص 333)، در استنساخ کتاب الفهرست درهم آمیخته و برخی از آثار خوارزمی جزء آثار سندبن علی آمده باشد ( رجوع کنید به سوتر ، ص 13ـ 14؛ نیز رجوع کنید بهقربانی ، ص 274ـ275)، به ویژه که در نسخ موجود الفهرست هیچ یک از دو کتاب الحساب الهندی و کتاب الجبر و المقابلة ، که به گواهی منابع دیگر مسلّماً از خوارزمی است ، جزء آثار خوارزمی ذکر نشده است . سزگین (ج 5، ص 243) به نقل از پل سبَث آورده که نسخه ای از کتاب سندبن علی در حلب موجود بوده است . اما ممکن است این قول ، مانند پاره ای دیگر از گفته های سبث ، شتابزده و بر پایة وارسی ناقص نسخه باشد. به هر حال ، این نسخه اکنون ظاهراً موجود نیست .

از میان آثار جبری بازمانده از این دوران ، برخی که اندکی پس از زمان خوارزمی تألیف شده است بر کوشش ریاضیدانان آن زمان برای تکمیل کار خوارزمی دلالت دارند. ریاضیدانی به نام عبدالحمیدبن واسع ابن ترک ختلی (یا جیلی ، یا جبلی ) رساله ای در جبر تألیف کرده بوده که تنها بخشی از آن که

به اثبات هندسی الگوریتمها اختصاص دارد به دست ما رسیده است ( رجوع کنید به صاییلی ، 1985). در این بخش ، ابن ترک برخی از براهین هندسی خوارزمی را دقیق تر کرده و به ویژه در بارة وجود ریشه (یعنی ریشة مثبت برخی از «مقترنات ») بحث کرده و حالاتی را که معادله ریشة مثبت ندارد مشخص کرده است . به روایت حاجی خلیفه (ج 2، ستون 1408) نوة ابن ترک ، به نام ابوبرزه ، که او هم ریاضیدان بوده (ابن ندیم ، ص 339) مدعی فضل تقدم نیای خود بر خوارزمی در ابداع علم جبر شده بوده و ابوکامل شجاع بن اَسلَم ، در مقدمة دو اثر خود، که ظاهراً اکنون از میان رفته اند، این ادعا را رده کرده بوده است . آنچه احتمال تقدم ابن ترک را بر خوارزمی کاهش می دهد این است که ابن ندیم (ص 339) ابوالفضل عبدالحمیدبن واسع بن ترک ختلی را در زمرة «الحُسّاب و اصحاب الاعداد المُحدَثون »، و پس از طبقة خوارزمی ، ذکر می کند. با این حال بلاذری (متوفی ح 279) از او با عبارت «حَدَّثنی عبدالحمیدبن واسع الختلی الحاسب » روایت می کند (1407، ص 407). اما چون بلاذری از خوارزمی هم مستقیماً روایت می کند ( رجوع کنید به 1398، ج 3، ص 264ـ265)، می توان نتیجه گرفت که ابن ترک معاصر خوارزمی و احیاناً کمی از او جوان تر بوده است ( رجوع کنید به جیلی * ، عبدالحمید). ریاضیدانان دیگر، مانند سنان بن فتح نیز بر فضل تقدم خوارزمی گواهی داده اند (راشد، 1997، ص 31، پانویس 4).





کوشش برای تعبیر هندسی دقیق معادلات جبری درجة دوم در رسالة فی تصحیح مسائل الجبر بالبراهین الهندسیة ( رجوع کنید بهلوکی ، ص 110ـ112؛ راشد، 1997، ص 35) اثر ثابت بن قرّة حَرّانی (221ـ 288) به صورت جدّی تری ادامه می یابد. واژة «تصحیح » را در عنوان این رساله باید به معنای «اثبات صحت » یا اثبات گرفت ، و بنابراین هدف ثابت این است که نشان دهد که الگوریتمهایی که خوارزمی برای حل معادلات درجة دوم به دست داده درست اند. اثباتهای ثابت هندسی است ، اما بر خلاف خوارزمی و ابن ترک که تعبیر خود را بر ترسیم اشکال هندسی استوار می کنند، وی مستقیماً از قضایای پنجم و ششم مقالة دوم اصول اقلیدس استفاده می کند و میان طولهایی که در این قضایا وارد می شوند و ضرایب «مقترنات » تناظری مستقیم برقرار می کند.

ابوکامل شجاع بن اَسلَم حاسب مصری ، که در نیمة دوم قرن سوم می زیسته ( رجوع کنید به سزگین ، ج 5، ص 227ـ281) گذشته از کتابی به نام کمالُ الجبر و تمامُه و الزیادةُ فی اصولِه (حاجی خلیفه ، ج 2، ستون 1407) که ظاهراً از میان رفته است ، کتابی به نام الجبر و المقابلة دارد که تنها یک نسخة خطی عربی و یک ترجمة عبری ( رجوع کنید به لوی ، 1966) و یک ترجمة لاتینی از آن باقی مانده است . ابوکامل در مقدمة این کتاب ، انگار می خواهد به ادعاهای ابوبرزه جواب بدهد، خوارزمی را نخستین کسی می داند که در جبر و مقابله کتابی تألیف کرده و اقرار به فضل تقدم او را وظیفة همة محاسبان می داند. کتاب ابوکامل در سه بخش است . بخش اول به بررسی همان معادلات خوارزمی اختصاص دارد، با این تفاوت که هریک از مقترنات را یک بار برای x و یک بار برای 2 x حل می کند و در حل هر معادله حالات ممکن و ممتنع (یعنی حالتی که معادله ریشة مثبت ندارد) و نیز حالتی را که معادله فقط یک ریشه (یعنی ریشة مضاعف ) دارد، برحسب مقدار ضرایب مشخص می کند. همچنین ابوکامل معادلاتی با ضرایب گنگ را هم در نظر می گیرد (ابوکامل ، 1406 الف ، مقدمة هوخندایک ، ص 1ـ2). ابوکامل در اثباتهای هندسی خود (1406 الف ، ص 10) نیز صراحتاً از دو قضیة مقالة دوم اصول اقلیدس استفاده می کند و، مانند خوارزمی ، این قضایا را «علت » درستی الگوریتم موردنظر می خواند و می نویسد (ص 7): «ما علت این ] الگوریتمها [ را با قضایای هندسی بیان می کنیم تا هندسه دانانی که در کتاب اقلیدس نظر کرده اند آن را دریابند». بخش دوم کتاب ابوکامل مختص محاسبة برخی از مقادیر هندسی ، و از جمله ضلع پنج ضلعی و ده ضلعی و پانزده ضلعیِ محاط در دایره بر حسب قطر آن است . روش هندسی به دست آوردن طول ضلع پنج ضلعی منتظم محاط در دایره در قضیة یازدهم از مقالة سیزدهم اصول اقلیدس (ج 3، ص 461ـ466) بیان شده ، اما ابوکامل مقدار عددی ضلع این چند ضلعیها را به دست می آورد، بدین معنی که به دست آوردن ضلع چند ضلعی را به حل یک معادلة درجة دوم تبدیل می کند. مثلاً به دست آوردن ضلع پنج ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع 10 به حل معادلة دومجذوری 2 x 125 = 3125 + 4 x منجر می شود (ابوکامل ، 1406 الف ، ص 134ـ 135). ابوکامل با این کار نه تنها معادلات از درجة چهارم (ولی قابل تبدیل به معادلات درجة دوم ) را در نظر می گیرد بلکه ریشة این معادلات را هم که عموماً مقادیر گنگ است به صورت عدد تلقی می کند. در واقع ، او میان دو سنّت یونانی ، که یکی محاسبة مقدار تقریبی مقادیر هندسی است ، مانند محاسبة وتر زاویة یک درجه به صورتی که مثلاً در کتاب مجسطی بطلمیوس (ص 48ـ56) دیده می شود، و دیگری ترسیم دقیق این مقادیر از راه هندسی ، پُلی می زند و با این کار این مقادیر را ریشة یک معادلة جبری درجة دوم ، یا معادلة دو مجذوری ، تلقی می کند. در مقالة سوم ، ابوکامل به حل چند معادلة سیال و چند دستگاه معادلات سیال می پردازد. در این مقاله تأثیر کتاب الحساب دیوفانتوس ، که اندکی پیش از زمان ابوکامل به عربی ترجمه شده بود محسوس است . بر کتاب الجبر و المقابلة ابوکامل ، علی بن احمد عِمرانی * (متوفی 344) شرحی نوشته بوده (ابن ندیم ، ص 341) که اکنون در دست نیست . از ابوکامل رساله ای نیز به نام الطرائف فی الحساب ( رجوع کنید بهابوکامل ، 1406 ب ) در دست است که موضوع آن حل معادلات سیال مرتبة اول به صورت ax + by + cz + ... + pt = m است . ابوکامل ، بر خلاف دیوفانتوس ، تنها به جوابهای صحیح این معادلات توجه دارد و نه به جوابهای گویای آنها.

تأثیر زبان جبری خوارزمی در کتاب معرفة مساحة الاشکال البسیطة و الکریة بنوموسی * ( رجوع کنید به بنوموسی ، ص 58ـ137) نیز محسوس است ، که پیش از سال 259 (سال درگذشت محمدبن موسی که بزرگ ترین سه برادر است ) تألیف شده است . بنوموسی در این اثر، بر خلاف سنّت ریاضیات اقلیدسی و ارشمیدسی ، مساحت یا حجم یک شکل را نه برحسب مساحتی دیگر بلکه به صورت حاصل ضرب بیان می کنند ( دائرة المعارف بزرگ اسلامی ، ج 12، ص 694) و، به بیان دیگر، مقادیر هندسی را به صورت عدد در نظر می گیرند. این امر اگر هم بر تأثیر مستقیم کتاب خوارزمی دلالت نکند، حاکی از تأثیر غیرمستقیم علم نوپای جبر در زبان ریاضی آن روز است . این تأثیر در ترجمة کتاب الحساب دیوفانتوس هم دیده می شود. این



کتاب ، که بنا بر استدلال راشد (دیوفانتوس اسکندرانی ، مقدمة راشد، ص XXII-XVI ) در حدود سال 250، و نه چنانکه تاکنون گمان برده اند در اواخر قرن سوم ، به دست قسطابن لوقای بعلبکی * به عربی ترجمه شده ، در ترجمه صناعة الجبر نام گرفته است (ابن ابی اصیبعه ، ج 1، ص 245). گذشته از این ، واژگان این کتاب ، در ترجمة عربی آن سخت تحت تأثیر واژگان جبری است (دیوفانتوس اسکندرانی ، ج 3، مقدمة راشد، ص L ). کتاب الحساب دیوفانتوس ، «هرچند به مفهومی که خوارزمی در نظر دارد کتاب جبر محسوب نمی شد، اما حاوی روشهایی مانند روشهای جایگزینی و حذف و تغییرِ متغیّر است » که در محاسبات جبری بسیار به کار می آیند (راشد، 1997، ص 38). از همین رو، مترجم این کتاب قسطابن لوقا، بر سه مقاله و نیم از آن (ابن ندیم ، ص 353) و ابوالوفای بوزجانی (328ـ 388) ظاهراً بر تمامی آن شرح نوشته است ( رجوع کنید بهابن ندیم ، ص 341). ابوالوفا کتاب دیگری به نام کتاب البراهین علی القضایا التی استعمل ذیوفنطس فی کتابه و علی ما استعمله هو فی التفسیر (همانجا) داشته و در آن ، چنانکه از عنوانش پیداست ، برای قضایای کتاب الحساب دیوفانتوس و نیز قضایایی که خود او در شرح آن به کار برده بوده اثباتهایی ارائه کرده بوده است .

کرجی و مکتب او. تأثیر آشنایی جبردانان اسلامی با کتاب الحساب دیوفانتوس در آثار کرجی ، ریاضیدان قرن چهارم هجری و مکتب او، به ویژه خلف او سموأل بن یحیی مغربی * دیده می شود. از زندگی کرجی تقریباً هیچ نمی دانیم ، جز اینکه احیاناً از مردم یکی از شهرهایی که کَرَج نام داشته اند (و شاید هم اهل کَرخ ) بوده و بخش اخیر زندگی خود را در ولایات جبال به کار مهندسی و به ویژه حفر قنات گذرانده است . از او، جز کتابی در استخراج آبهای پنهانی ، رساله های چندی در جبر و حساب باقی مانده است ، که از آن میان دو رسالة البدیع و الفخری ، که به نام فخرالملک وزیر نوشته شده (کرجی ، 1406، ص 97؛ نیز رجوع کنید بهقربانی ، ص 391ـ392)، به ویژه در خور ذکر است . به گفتة ابن خلّکان (ج 5، ص 125ـ126) این فخرالملک ابوغالب محمدبن علی بن خلف (مقتول در 407) وزیر بهاءالدوله و سلطان الدولة دیلمی است و کرجی کتاب الکافی خود را هم برای او نوشته بوده است . از میان دو شاخة جبر، کار کرجی بیشتر در حوزة تکمیل حساب جبری ، یعنی عملیات بر روی عبارات جبری ، قرار می گیرد و به گفتة ووپکه (ص 4) «وی کامل ترین و در واقع تنها نظریة حساب جبری را که تاکنون در نزد عرب زبانها سراغ می توان گرفت عرضه کرده است » (البته ووپکه آثار سموأل را نمی شناخته است ). هدف کرجی ، که کمابیش به آن تصریح می کند، این است که علم جبر را به صورت علمی مستقل از هندسه مطرح کند و به ویژه گریبان خود را از نمایش هندسی عملیات جبری رها کند (راشد، 1984، ص 32؛ انبوبا، ص 24). از این جهت ، کار او از یک سو ادامة سنّتی است که خوارزمی با معرفی عملیات بر روی دو جمله ایهای جبری بنیان نهاده بود و از سوی دیگر مبتنی بر امکاناتی است که بر اثر کشف و ترجمة کتاب الحساب دیوفانتوس در اختیار قرار گرفته و به دست ریاضیدانانی چون ابوالوفای بوزجانی گسترش یافته بود (راشد، 1984، همانجا). با تکیه بر این دو سنّت ، کرجی توفیق می یابد که نخستین نظریة جبر چندجمله ایها را به دست دهد.

در الفخری کرجی به بررسی توانهای جبری می پردازد ( رجوع کنید بهص 98ـ99) و آنگاه عملیات حسابی را در مورد جمله ها و عبارات جبری بیان می کند. وی با بررسی دو رشتة



,... 9 ,..., x 2 x , x

و

, ... 9 x 1 , ... , 2 x 1 x , 1



قواعد زیر را به دست می آورد (ص 99ـ101) :



= ... 3 x 1 : 2 x 1 = 2 x 1 x : 1 ) 1 )



1 n- x n = x n x 1 : 1 n- x 1 x , ... , = 2 = x 2 x 1 x : 1 ) 2 )



= m x 1 . n x 1 ,... , 3 x 1 x = 1 . 2 x 1 , 2 x 1 x = 1 x . 1 ) 3 )



,...) 3 , 2 , 1 (m, n = m+n x 1



, = m .x n x 1 x , ... , 3 = x 3 x.x 1 x , 2 = x 2 x. x 1 ) 4 )



,...) 3 , 2 , 1 (m, n = n x m x



در مورد عملیات جبری بر روی چند جمله ایها، کرجی نخست قواعد ضرب و تقسیم یک جمله ایها را به دست می دهد و آنگاه به قواعد ضرب و تقسیم چند جمله ایها می پردازد. الگوی او برای چندجمله ای ، یا به اصطلاح کرجی «کمیات مرکّب »، یک عدد دهدهی با مقادیر اعشاری است . همچنانکه در مورد خوارزمی دیدیم ، چند جمله ای در واقع عبارت می شود از بسط عددی در مبنای x به صورت



x ) m ... b 2 b 1 . b 0 a ... 1 n- a n F(x) = (a



x 1 * 1 b ...+ a + 2 n- x * 2 n- a + 1 n- x * 1 n- a + n x * n = a



n m 0 i= 1 j= j x 1 j b S + i x i a S = m x 1 * m ...b + 2 x 1 * 2 +b





در مورد ضرب چند جمله ایها، روش کرجی کاملاً کلی است ، اما در مورد تقسیم چند جمله ایها وی تنها قواعد تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای و تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای را به دست می دهد. در مورد استخراج جذر، روش وی کلی است اما به حالتی که ضرایب چند جمله ای مثبت باشند محدود می شود (راشد، 1984، ص 34).

کرجی قواعد حساب را در مورد کمیاتهای گنگ نیز به کار می برد. هدف او این است که نشان دهد که این قواعد وقتی در مورد کمیات گنگ به کار روند ویژگیهای خود را حفظ می کنند. اما مشکلی که بر سر راه دارد این است که چگونه می توان ، بدون در دست داشتن مفهوم اعداد حقیقی ، عملیات حسابی را در مورد این اعداد به کار برد، زیرا آنچه جبردانان در اختیار داشتند در واقع مجموعة اعداد گویا بود. در اینجا کرجی بار دیگر به کتاب اصول اقلیدس متوسل می شود و تعریف خود را از عدد بر تعریف اقلیدس مبتنی می کند. همچنین مفاهیم ناهمسنجه و گنگ را بر اساس مقالة دهم اصول اقلیدس تعریف می کند. با این حال ، باید به یاد داشت که در نظر اقلیدس ، و شارحان او چون پاپوس ، «این ویژگیها ذاتاً هندسی اند، و ناهمسنجگی و گنگی در مورد اعداد نمی تواند وجود داشته باشد. اعداد همواره گویا و همسنجه اند» (و ذلک انّ المتباین و الاصمّ، اَمّا فی الاعداد فغیر موجودة بل الاعداد کلّها مُنطقة و مشترکة ؛ رجوع کنید به پاپوس اسکندرانی ، ص 193؛ راشد، 1984، ص 35). کرجی البته نمی تواند کاربرد این مفاهیم را در مورد اعداد توجیه کند. تنها توجیه ، به نظر راشد، تصوری است که او از جبر داشته است : چون کمیات هندسی (طولها) و اعداد می توانند به یکسان مقدارِ مجهول یک معادلة جبری قرار گیرند، بنابراین می توان قواعد حسابی یکسانی را دربارة آنها به کار برد (راشد، 1984، ص 35). به این دلیل است که وی می نویسد: «من نشان می دهم که این مقادیر ] ناهمسنجه ، گنگ [ را می توان به عدد تبدیل کرد» (کرجی ، 1964، ص 29؛ نیز رجوع کنید بهراشد، 1984، ص 36).

به این طریق است که کرجی کار تعبیر جبری مطالب مقالة دهم کتاب اصول اقلیدس را، که در نظر عموم ریاضیدانان یونانی یک مقالة هندسی محض بود، پیش می برد. پیش از او، در حدود نیمة قرن سوم ، محمدبن عیسی ماهانی * (متوفی ح 275؛ رجوع کنید بهقربانی ، ص 431) تعبیری عددی از کمیتهای گویا و گنگ مقالة دهم به دست داده بود ( رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 28؛ همو، 1999، ص 89 ـ156). ماهانی تعریفی از کمیات گنگ و همراه آن نخستین طبقه بندی کمیاتی را که به کمک رادیکالها ساختنی اند، به دست داده بود که در آن این کمیات به گویا و گنگ تقسیم می شوند. وجه مشترک این دو گروه این است که هر دو می توانند جواب معادلات خوارزمی باشند. پس از آن نیز چند ریاضیدان از نظریة جبری معادلات درجة دوم برای ترجمة برخی از قضایای مقالة دهم اصول به زبان جبری استفاده کرده بودند (بن میلاد، 2004، همانجا). از لحاظ کرجی ، مفاهیمی که در این مقاله آمده است ، با کمیات به طور کلی سروکار دارند و بنابراین در حوزة علم جبر قرار می گیرند (راشد، 1984، ص 36). کرجی به کمیات گویا و گنگ به چشم متغیرهای نامعیّن نگاه می کند و مقادیر خاص آنها تحت الشعاع عملیاتی قرار می گیرد که بر روی این کمیات انجام می شود. «کمیات گویا و گنگ دیگر به کمک پاره خطها معرفی نمی شوند و، برای اولین بار، منزلتی صرفاً عددی پیدا می کنند. به این دلیل است که کرجی بارها از «عدد گویا» و «عدد گنگ » سخن می گوید» ( رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 50 ـ51). به گفتة سموأل بن یحیی مغربی (ص 19) «کرجی در همة آثار حسابی اش ، وقتی از «عدد» سخن می گوید منظورش کمیتِ معدود است ، منظور او عددی نیست که واحدش تجزیه ناپذیر است » (نیز رجوع کنید به بن میلاد، 2004، ص 51، پانویس ).

به این طریق کرجی موفق می شود دستورهایی جبری برای گویا کردن کمیات گنگ به دست دهد. وی این کار را نخست در بارة تک جمله ایها انجام می دهد و قواعدی برای محاسبة

n n n n m 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ . 1 x ¡ , 2 x ¡ 1 X ) 1 )



n n n m 2 x ¡ : 1 x ¡ , 2 x ¡ : 1 x ¡ ) 2 )



n n 2 x ¡ 1 x ¡ ) 3 )



به دست می آورد. سپس همین روش را در مورد چند جمله ایها به کار می بندد و از جمله قواعدی برای محاسبة عباراتی چون

2 x ¡ + 1 x ¡ ¡ , 3 x ¡ 4 + 2 x ¡ 4 1 x , 2 x ¡ _ 3 x ¡ 1 x ¡



به دست می دهد (راشد، 1984، ص 36ـ37).

کرجی در یکی از آثار گمشدة خود، که سموأل بخشی از آن را نقل کرده ، ضرایب بسط n (a+b) را محاسبه کرده است و از این نظر بر پاسکال که این ضرایب (مثلث پاسکال ) به نام او معروف است ، و نیز بر خیام ، که او نیز گاهی کاشف این ضرایب شمرده می شود، فضل تقدم دارد. مهم تر اینکه ، برای به دست آوردن این ضرایب ، کرجی از نوعی برهان ریاضی که امروزه به «استقراء ریاضی » معروف است استفاده می کند، و از این نظر نیز در کشف این روش بر پاسکال و یا لِوی بن گِرشون ریاضیدان یهودی فرانسوی (1288ـ1344) که پیش از این کاشف این روش محسوب می شده اند، مقدّم است (راشد، 1972، ص 1ـ21).

بر پایة کار کرجی ، سموأل بن یحیی مغربی (متوفی ح 570)، در الباهر ، نخستین روش کلی برای عملیات روی چندجمله ایها را به دست می دهد. کار او نیز بر اساس شباهت میان ساختار چندجمله ایهای جبری و اعداد دهگانی است و مبتنی است بر مفهوم «رتبه » و استفاده از جداولی که عملیات جبری را

تسهیل می کند. در جدولی که برای نمونه آمده است ، رُتبة هر

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

7 x 1 6 x 1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 x 1 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x

5 4 9 3 5 7 2

6 3 2 5 1 6

6 5 7 9 5 5 5 8 2 6



تک جمله ای با فاصلة آن با رتبة صفر (واحد) مشخص

می شود. ستونهای سمت چپ واحد نشانة رتبه های مثبت و ستونهای سمت راست آن نشانة رتبه های منفی اند. با این قرارداد، سطرهای سوم و چهارم این جدول نمایش تابعهای

4 x 5 + 2 x 4 x + 9 + 3 x + 5 + 3 x 7 + 4 x 2 f(x) = و

5 x 6 + 2 x 3 + 2 + 2 x 5 + 3 + x 5 x 6 g(x) =

و سطر پنجم نمایش مجموع این دو تابع ، یعنی



5 x 6 + 4 x 5 + 2 x 7 + x 9 + 5 + x 5 + 2 x 5 + 3 x 8 + 4 x 2 + 5 x 6 g(x)= f(x) +

است . به کمک این گونه جدولها عملیات جبریِ دیگر را نیز روی چند جمله ایها می توان انجام داد.

تصاویر این مدخل:
شکل 1
شکل 2
شکل 3
شکل 4
شکل 5
شکل 6

 

 



ادامه مطلب

+ نوشته شده در  چهارشنبه ۳ خرداد ۱۳۹۱ساعت 22:19  توسط سيد مصطفي محمدزاده   |