|
مقدمه مثلثات [1](از یونانی trigōnon "مثلث" + metron "اندازه گیری" [1] ) شاخهای از ریاضیات است که مثلث مطالعات و روابط بین دو طرف آنها و زاویه بین این طرف. Trigonometry defines the trigonometric functions , which describe those relationships and have applicability to cyclical phenomena, such as waves. مثلثات تعریف توابع مثلثاتی ، که توصیف آن روابط و کاربردی به پدیده های ادواری ، مانند امواج. The field evolved during the third century BC as a branch of geometry used extensively for astronomical studies. [ 2 ] It is also the foundation of the practical art of surveying . زمینه تکامل یافته در طول قرن سوم قبل از میلاد به عنوان شاخه ای از هندسه برای مطالعات نجومی استفاده می شود . [2] این نیز پایه و اساس هنر عملی نقشه برداری است. Trigonometry basics are often taught in middle school or junior high school as part of the basic math curriculum. اصول اولیه مثلثات اغلب در تدریس دبیرستان مقدماتی متوسطه و یا به عنوان بخشی از برنامه درسی ریاضی پایه است. More in depth trigonometry is sometimes taught in high school either as a separate course or as part of a precalculus course. در مثلثات عمق است گاهی اوقات تدریس در دبیرستان و یا به عنوان یک دوره جداگانه و یا به عنوان بخشی از جبر پیشرفته درس. The trigonometric functions are pervasive in parts of pure mathematics and applied mathematics such as Fourier analysis and the wave equation , which are in turn essential to many branches of science and technology. Spherical trigonometry studies triangles on spheres , surfaces of constant positive curvature , in elliptic geometry . توابع مثلثاتی فراگیر در بخش هایی از ریاضیات محض و ریاضیات کاربردی از قبیل تجزیه و تحلیل فوریه و معادله موج ، که به نوبه خود به بسیاری از شاخه های علم و فناوری ضروری است. مثلثات کروی مطالعات مثلث بر روی کره ها ، سطوح ثابت مثبت انحنای ، در بیضوی هندسه . It is fundamental to astronomy and navigation . اساسی به نجوم و ناوبری است . Trigonometry on surfaces of negative curvature is part of Hyperbolic geometry . مثلثات در سطوح انحنا منفی بخشی از هندسه هذلولوی است .
تاریخچه Main article: History of trigonometry نوشتار اصلی : تاریخچه مثلثات The first trigonometric table was apparently compiled by Hipparchus , who is now consequently known as "the father of trigonometry." [ 3 ] اولین جدول مثلثاتی ظاهرا وارد شده بود Hipparchus ، که هم اکنون در نتیجه به عنوان "پدر از مثلثات است." شناخته می شود [3] Sumerian astronomers introduced angle measure, using a division of circles into 360 degrees. [ 4 ] They and their successors the Babylonians studied the ratios of the sides of similar triangles and discovered some properties of these ratios, but did not turn that into a systematic method for finding sides and angles of triangles. سومریان ستاره شناسان معرفی اندازه گیری زاویه ، با استفاده از تقسیم دایره به 360 درجه است. [4] آنها و جانشینان خود را بابلی ها مورد مطالعه نسبت از طرف مثلث های مشابه و کشف برخی از خواص این نسبت ، اما این کار را انجام دادیم را به یک روش سیستماتیک تبدیل برای پیدا کردن ضلع و زاویه از مثلث های. The ancient Nubians used a similar methodology. [ 5 ] The ancient Greeks transformed trigonometry into an ordered science. [ 6 ] Nubians باستان با استفاده از یک روش مشابه است. [ 5] یونانیان باستان از مثلثات به علم دستور داده شده تبدیل کرد . [6] Classical Greek mathematicians (such as Euclid and Archimedes ) studied the properties of chords and inscribed angles in circles, and proved theorems that are equivalent to modern trigonometric formulae, although they presented them geometrically rather than algebraically. Claudius Ptolemy expanded upon Hipparchus ' Chords in a Circle in his Almagest . [ 7 ] The modern sine function was first defined in the Surya Siddhanta , and its properties were further documented by the 5th century Indian mathematician and astronomer Aryabhata . [ 8 ] These Greek and Indian works were translated and expanded by medieval Islamic mathematicians . ریاضیدانان یونانی کلاسیک (مانند اقلیدس و ارشمیدس ) خواص مورد مطالعه آکورد و زاویه محاط در دایره ، و قضایای که معادل به مدرن فرمول های مثلثاتی را ثابت ، اگر چه آنها را هندسی و نه از جبری ارائه کلودیوس بطلمیوس بر گسترش Hipparchus آکورد در دایره در خود Almagest است . [7 ] یک تابع مثلثاتی ، مدرن برای اولین بار در تعریف شد Siddhanta Surya ، و خواص آن بیشتر در قرن 5 مستند بودند ستاره شناس و ریاضی دان هندی Aryabhata . [8 ] این آثار یونانی و هندی و ترجمه شد گسترش قرون وسطی اسلامی ریاضیدانان . By the 10th century, Islamic mathematicians were using all six trigonometric functions, had tabulated their values, and were applying them to problems in spherical geometry . [ citation needed ] At about the same time, Chinese mathematicians developed trigonometry independently, although it was not a major field of study for them. در قرن 10 ، ریاضیدانان اسلامی با استفاده از هر شش توابع مثلثاتی ، مقدار آن جدول بود ، و آنها اعمال به مشکلات در هندسه کروی است. [نیازمند منبع] در حدود همان زمان ، ریاضیدانان چینی توسعه مثلثات به طور مستقل ، با وجود آن که نه رشته اصلی را برای آنها خواهد شد. Knowledge of trigonometric functions and methods reached Europe via Latin translations of the works of Persian and Arabic astronomers such as Al Battani and Nasir al-Din al-Tusi . [ 9 ] One of the earliest works on trigonometry by a European mathematician is De Triangulis by the 15th century German mathematician Regiomontanus . آگاهی از توابع مثلثاتی و روش های اروپا از طریق ترجمه های لاتین آثار ستاره شناسان مانند فارسی و عربی آل Battani و نصیر الدین ، طوسی رسید . [9 ] یکی از قدیمیترین آثار در مثلثات توسط یک ریاضیدان اروپا Triangulis توسط ریاضیدان قرن 15 آلمان Regiomontanus . Trigonometry was still so little known in 16th century Europe that Nicolaus Copernicus devoted two chapters of De revolutionibus orbium coelestium to explaining its basic concepts. مثلثات هنوز بسیار کمی شناخته شده در قرن 16 اروپا که نیکولاس کوپرنیک اختصاص داده شده دو فصل از د revolutionibus orbium coelestium به توضیح مفاهیم اولیه آن است.
Driven by the demands of navigation and the growing need for accurate maps of large areas, trigonometry grew to be a major branch of mathematics. [ 10 ] Bartholomaeus Pitiscus was the first to use the word, publishing his Trigonometria in 1595. [ 11 ] Gemma Frisius described for the first time the method of triangulation still used today in surveying. رانده شده توسط خواسته های ناوبری و نیاز رو به رشد برای نقشه های دقیق از مناطق بزرگ ، مثلثات رشد به شاخه اصلی ریاضیات است . [10 ] Bartholomaeus Pitiscus اولین استفاده از کلمه بود ، چاپ و نشر Trigonometria خود را در 1595 است. [ 11] جما Frisius توصیف برای اولین بار از روش مثلث هنوز که هنوز است در نقشه برداری استفاده می شود. It was Leonhard Euler who fully incorporated complex numbers into trigonometry. لئونارد اویلر که به طور کامل اعداد مختلط را به مثلثات گنجانیده شده بود . The works of James Gregory in the 17th century and Colin Maclaurin in the 18th century were influential in the development of trigonometric series. [ 12 ] Also in the 18th century, Brook Taylor defined the general Taylor series . [ 13 ] آثار جیمز گریگوری در قرن 17th و کالین Maclaurin در قرن 18 با نفوذ در توسعه از سری مثلثاتی بودند . [12 ] در قرن 18 ، بروک تیلور ، سری تیلور به طور کلی تعریف. [ 13] بررسی اجمالی
If one angle of a triangle is 90 degrees and one of the other angles is known, the third is thereby fixed, because the three angles of any triangle add up to 180 degrees. اگر یک زاویه از یک مثلث 90 درجه و یکی از زوایای دیگر شناخته شده است ، سوم در نتیجه ثابت ، به دلیل سه زاویه هر مثلث اضافه کنید تا 180 درجه است. The two acute angles therefore add up to 90 degrees: they are complementary angles . دو زاویه حاد ، در نتیجه تا 90 درجه اضافه کنید : آنها زاویه های مکمل هستند. The shape of a triangle is completely determined, except for similarity , by the angles. شکل یک مثلث به طور کامل است ، مصمم به جز تشابه ، زاویه. Once the angles are known, the ratios of the sides are determined, regardless of the overall size of the triangle. هنگامی که زاویه شناخته می شود ، نسبت از طرف مصمم هستند ، صرف نظر از اندازه کلی مثلث. If the length of one of the sides is known, the other two are determined. اگر طول یکی از دو طرف شناخته شده است ، دو نفر دیگر تعیین می شود. These ratios are given by the following trigonometric functions of the known angle A , where a , b and c refer to the lengths of the sides in the accompanying figure: این نسبت زیر با توجه به توابع مثلثاتی از زاویه شناخته شده ، که در آن A ، B و C مراجعه به طول دو طرف در شکل همراه :
The hypotenuse is the side opposite to the 90 degree angle in a right triangle; it is the longest side of the triangle, and one of the two sides adjacent to angle A . وتر طرف مقابل به زاویه 90 درجه در یک مثلث راست است ، آن است که طولانی ترین ضلع مثلث ، و یکی از دو ضلع مجاور به زاویه است . The adjacent leg is the other side that is adjacent to angle A . پا مجاور طرف دیگر است که مجاور به زاویه است. The opposite side is the side that is opposite to angle A . طرف مقابل طرف است که روبروی زاویه است. The terms perpendicular and base are sometimes used for the opposite and adjacent sides respectively. عمود بر شرایط و پایه ها هستند که به آن گاهی برای طرف مقابل و مجاور به ترتیب استفاده می شود. Many English speakers find it easy to remember what sides of the right triangle are equal to sine, cosine, or tangent, by memorizing the word SOH-CAH-TOA (see below under Mnemonics ). بسیاری از انگلیسی زبانان آن را آسان به یاد داشته باشید چه طرف از مثلث قائم الزاویه به سینوسی ، کسینوسی و یا مماس با هم برابر هستند ، به خاطر سپردن کلمه SOH CAH ، توآ (تحت Mnemonics پایین را نگاه کنید). The reciprocals of these functions are named the cosecant (csc or cosec), secant (sec), and cotangent (cot), respectively. reciprocals از این توابع به نام کسکانت (CSC یا cosec) ، قطع کننده (SEC) ، و کتانژانت (تخت) بود. The inverse functions are called the arcsine , arccosine , and arctangent , respectively. توابع معکوس نامیده می شوند arcsine ، arccosine ، و arctangent بود. There are arithmetic relations between these functions, which are known as trigonometric identities . روابط ریاضی بین این توابع ، که به عنوان شناخته شده وجود دارد هویت مثلثاتی . The cosine, cotangent, and cosecant are so named because they are respectively the sine, tangent, and secant of the complementary angle abbreviated to "co-". کسینوس ، کتانژانت ، و کسکانت هستند تا به نام چرا که آنها به ترتیب سینوسی ، مماس و خط قاطع از زاویه مکمل به صورت مختصر "مشترک" است. With these functions one can answer virtually all questions about arbitrary triangles by using the law of sines and the law of cosines . با این توابع می توانید تقریبا تمام سوالات در مورد مثلث دلخواه با استفاده از قانون سینوس ها و قانون کسینوس ها پاسخ دهید. These laws can be used to compute the remaining angles and sides of any triangle as soon as two sides and their included angle or two angles and a side or three sides are known. این قوانین را می توان مورد استفاده برای محاسبه زاویه باقی مانده و دو طرف هر مثلث به زودی به عنوان دو ضلع و زاویه شامل خود یا دو زاویه و یک ضلع یا سه طرف شناخته شده است. These laws are useful in all branches of geometry, since every polygon may be described as a finite combination of triangles. این قوانین در تمام شاخه های هندسه ، از آنجا که هر چند ضلعی ممکن است به عنوان یک ترکیب محدود از مثلث های شرح داده شده است .
گسترش تعاریفFig. شکل 1a - Sine and cosine of an angle θ defined using the unit circle. 1A -- سینوس و کسینوس یک زاویه θ با استفاده از دایره واحد تعریف شده است. The above definitions apply to angles between 0 and 90 degrees (0 and π/2 radians ) only. تعاریف فوق تقاضای خود را به زاویه بین 0 و 90 درجه (با 0 و π / 2 رادیان) تنها . Using the unit circle , one can extend them to all positive and negative arguments (see trigonometric function ). با استفاده از دایره واحد ، می توان آنها را به همه استدلال های مثبت و منفی (رجوع کنید به گسترش تابع مثلثاتی). The trigonometric functions are periodic , with a period of 360 degrees or 2π radians. توابع مثلثاتی تناوبی است ، با یک دوره از 360 درجه یا رادیان 2π است. That means their values repeat at those intervals. این بدان معناست که ارزش های خود را در آن فواصل تکرار. The tangent and cotangent functions also have a shorter period, of 180 degrees or π radians. توابع مماس و کتانژانت همچنین یک دوره کوتاه تر از 180 درجه یا π رادیان است. The trigonometric functions can be defined in other ways besides the geometrical definitions above, using tools from calculus and infinite series . توابع مثلثاتی را می توان در راه های دیگر علاوه بر تعاریف هندسی در بالا تعریف شده است ، با استفاده از ابزار را از حساب دیفرانسیل و انتگرال و سری نامتناهی . With these definitions the trigonometric functions can be defined for complex numbers . با این تعاریف توابع مثلثاتی را می توان برای تعریف اعداد مختلط . The complex exponential function is particularly useful. تابع نمایی پیچیده بسیار مفید است. e x + i y = e x (cos y + i sin y ). E X + من Y = E X (COS Y + من گناه Y). See Euler's and De Moivre's formulas. مشاهده اویلر و د Moivre فرمول. Graphing process of y = sin( x ) using a unit circle. نمودار روند Y = گناه (X) با استفاده از یک دایره واحد است. Graphing process of y = tan( x ) using a unit circle. نمودار روند Y = قهوهای مایل به زرد (X) با استفاده یاز یک دایره واحد است. Graphing process of y = csc( x ) using a unit circle. نمودار روند Y = CSC (X) با استفاده از یک دایره واحد است.
+ نوشته شده در جمعه ۱۵ اردیبهشت ۱۳۹۱ساعت 21:46 توسط سيد مصطفي محمدزاده
|
|
|
